martes, 17 de mayo de 2011

El teorema de los infinitos monos

El teorema de los infinitos monos

El teorema de los infinitos monos afirma que si pusiésemos un grupo de monos a pulsar teclas al azar, sobre sendas máquinas de escribir, durante un período de tiempo infinito, los macacos podrían escribir finalmente cualquier libro que se nos ocurriese. La idea original fue planteada por Émile Borel, en 1913, y no ha perdido vigencia, por lo que hemos decidido dar un paseo por un planeta infinito poblado por infinitos monos aporreando infinitas máquinas de escribir. ¿Te apuntas?

La idea original del teorema de los infinitos monos fue planteada por Émile Borel en su libro Mécanique Statistique et Irréversibilité, publicado en 1913. Originalmente, Borel sostenía que si se pusiese a un millón de monos a mecanografiar durante diez horas al día era extremadamente poco improbable que pudiesen producir algo legible. El propósito de la metáfora era ilustrar un acontecimiento extraordinariamente improbable. A lo largo de los años la idea de Borel se fue transformando en un concepto más elaborado, y después de 1970 el número de monos se aumentó hasta el infinito. También el tiempo implicado en la escritura de los textos se hizo infinitamente largo, por lo que la conclusión se convirtió en la seguridad de que los simios reproducirían absolutamente todos los textos escritos por la humanidad, incluido este mismo artículo.

No es sencillo escribir algo realmente al azar.

No es sencillo escribir algo realmente al azar. En realidad, y antes de meternos de lleno en los conceptos matemáticos que se encuentran detrás de esta afirmación, debemos aclarar que no hace falta utilizar a la vez “infinitos monos” y un tiempo “infinitamente largo”. Bastarían, simplemente, infinitos monos que pulsasen una sola tecla cada uno y se detuviesen, o un solo mono escribiendo durante infinitos años para crear cualquier texto imaginable.


Supongamos que la máquina de escribir que utilizan nuestros sacrificados monos disponen de 50 símbolos distintos. Eso basta para considerar todas las letras del alfabeto (sin discriminar entre mayúsculas y minúsculas), los dígitos del 0 al 9 y un puñado de signos de puntuación, incluido el espacio entre palabras. El resto de los símbolos que pueden aparecer en un texto, como las letras griegas o símbolos matemáticos simplemente pueden ser nombradas como “alfa”, “pi” o “suma”. Este hecho no modifica en nada nuestro análisis ni los resultados del mismo.

También debemos suponer que los monos están lo suficientemente bien entrenados (o “desentrenados”, en realidad) como para teclear realmente al azar. Esto es algo difícil de conseguir en la práctica -y si no pregunten a los que escriben algoritmos para generar números realmente aleatorios- pero es muy importante para nuestro análisis, así que supondremos que el mono lo logra). En estas condiciones, la probabilidad de que pulse una tecla determinada es de 1/50, o del 2%. Un texto no es más que una secuencia de caracteres -letras, números, espacios y símbolos- ordenados de manera que tengan (a veces) sentido. Veamos qué tanto tiempo necesita nuestro mono para escribir algo coherente.

Nuestros monos, listos para comenzar a trabajar.

Nuestros monos, listos para comenzar a trabajar.

Nuestro mono, para no liarnos con las cuentas, presiona una tecla por segundo. A lo largo de un día de trabajo habrá escrito un texto de 60*60*24 = 86.400 caracteres, o lo que es lo mismo, unas 22 páginas. Serán, con casi total seguridad, un galimatías sin sentido. Vamos a ver cuál es la probabilidad -y qué tiempo necesita- un mono tecleando a esa velocidad para escribir la palabra “neoteo”. La posibilidad de que la primer tecla que presione sea una “n” es de 1/50. La probabilidad de que -además- la segunda sea una “e” es de (1/50) * (1/50) = 0,0004. Eso significa que, estadísticamente hablando, el simio podrá escribir “ne” recién después de pulsar 2500 teclas o, lo que es lo mismo, después de escribir durante unos 41 minutos. Escribir “neo” es 1/50 veces más difícil, y tiene una posibilidad de aparecer igual a (1/50) * (1/50) * (1/50) = 0,000008 veces. Podemos esperar que luego de unas 34 horas y 40 minutos, aparezca la silaba “neo” en alguna parte de las aproximadamente 40 páginas escritas por el monito.


Escribir “neoteo” requiere de mucho más tiempo. De hecho, la probabilidad de que el agotado mono escriba la palabra de seis letras es sólo (1/50) * (1/50) * (1/50) * (1/50) * (1/50) * (1/50) = 0,000000000064. A un carácter por segundo, se tardarían más de 495 años en encontrar “neoteo”.

Esto basta para darnos cuenta que el pobre mono necesitará “bastante” tiempo para producir -por ejemplo- un cuento corto. “El dinosaurio”, escrito por Augusto Monterroso y cuyo texto completo es “Cuando despertó, el dinosaurio todavía estaba allí.” es considerado por muchos como el cuento más corto jamás escrito, y posee una longitud de 51 caracteres. Nuestro monito, suponiendo que fuese inmortal, tiene una posibilidad de (1/50) multiplicado por si mismo 51 veces de escribir ese texto. Demoraría 2,251799814 x 10^87 segundos o 1,4 x 10 ^ 73 millones de años, un tiempo millones de millones de veces más más largo que la edad del Universo, en tenerlo listo. Si queremos que escriba las obras completas de Shakespeare necesitamos un mono mucho más rápido, o bien aumentar el número de monos.

“Estábamos tan contentos…” ¡’Estábamos’ va con ‘v’, mono tonto!

“Estábamos tan contentos…” ¡’Estábamos’ va con ‘v’, mono tonto!

Si contásemos con un buen presupuesto, y la adecuada provisión de bananas, podríamos utilizar 7 x 10^62 monos, escribiendo a un ritmo de un carácter por segundo. Si hubiesen comenzado a trabajar en el mismo momento en que tuvo lugar el Big Bang, ahora tendríamos (perdido en algún lugar dentro de los miles de millones de millones de millones de tomos escritos) el texto del cuento de Monterroso. Por supuesto, también habría miles de copias imperfectas del mismo, con alguna letra de más o de menos, o alguna falta de ortografía. Y si buscases con cuidado, podrías encontrar cualquier frase que imagines, siempre que tenga una longitud igual o menor a 51 caracteres.

Sin embargo, el pobre mono puesto a aporrear el teclado durante infinitos años, es capaz de escribir cualquier cosa imaginable. Podría escribir, por ejemplo, el nombre de cada uno de los pasajeros alojados en el El Hotel Infinito de Hilbert o las Obras Completas de Borges. Si te lo propones, podrías encontrar entre las páginas producidas la "fórmula secreta" de la Coca Cola, o el código fuente de Windows Vista.

Si el tiempo que dispones es limitado, al fin y al cabo hasta Microsoft fue capaz de escribir el código de Vista en unos pocos años, debes aumentar el numero de monos. Llevando la idea al extremo, infinitos monos sentados en innumerables hileras sobre la superficie de un infinito planeta podrían escribir el texto que desees simplemente pulsando una tecla cada uno. En solo un segundo, las obras completas de la humanidad (más todo lo que es posible escribir) estarían listas para ti. Eso sí, deberías caminar un largo rato entre los monos para encontrar lo que buscas.

Todo esto sirve, simplemente, para darnos una idea de la vastedad del infinito. A pesar de que con tiempo suficiente un simple mono podría escribir hasta la Teoría Unificada de la física, siempre es más rentable -en términos de tiempo- utilizar la razón y no escribir al azar. Si no lo hacemos, no seremos mejores que un mono sentado frente a un teclado.

Fuente del artículo: http://www.neoteo.com/el-teorema-de-los-infinitos-monos