domingo, 23 de mayo de 2010

La espiral de Lorenz

Edward Lorenz y el efecto mariposa

La espiral de Lorenz

El matemático Edward Lorenz usaba su ordenador Royal McBee para desentrañar la maraña matemática que él mismo había creado con sus doce ecuaciones para predecir el tiempo atmosférico en el Massachusetts Institute of Technology. Era el año 1960.

Su pasión por el pronóstico atmosférico le vino durante la 2ª Guerra Mundial. Tras su graduación en Matemática Pura en el Dartmouth College en 1938 participó en la contienda diagnosticando el tiempo para las fuerzas aéreas.Transcurrida la guerra, optó por dedicar sus esfuerzos matemáticos aplicándolos a la metereología.

La predicción del tiempo se debía regir por ecuaciones, al igual que las órbitas de los planetas, satélites y galaxias, quizá más complicadas pero ecuaciones al fin y al cabo. Para ello escogió 12 funciones, unas establecían el vínculo entre velocidad y viento, otras entre presión y temperatura y así unas cuantas variables más. No le promovía un interés meramente físico sino también matemático.

Su trabajo fue en boca en boca por el MIT, llegando a tal punto que se organizaban apuestas sobre los pronósticos que darían las ecuaciones de Lorenz.

Hojeando los rollos y rollos de papel con datos numéricos que escupía su impresora, Lorenz ideó un método para que el ordenador señalara cada minuto el paso de un día imprimiendo una hilera de números.

En 1961, Lorenz cansado de observar ese vaivén numérico salido de la impresora de su ordenador, intentó atajar partiendo de una sucesión anterior pero al traspasar los dígitos sólo tecleó 3 en vez de los 6 originales, esperando que el comportamiento no cambiaría.

Los resultados obtenidos trajeron de cabeza a Lorenz pues no eran los esperados y revisó el software y hardware hasta darse cuenta finalmente, que el error lo cometió al truncar el valor inicial de la función cambiando el input de 0,506127 a 0,506.

No creyó que una variación tan pequeña pudiera comportar un cambio tan radical de la función al cabo de unas cuantas iteraciones.

Aquí puedes observar gráficamente un ejemplo para 12 iteraciones de la funciónf(x)=x2, en la que se coge el valor de la iteración anterior y se eleva al cuadrado. He realizado dos series: la primera de ellas parte de un valor inicial x=1,0001 y la segunda de un valor inicial x=1,001. El comportamiento de las dos es parecido en las primeras iteraciones y progresivamente comienza a variar, desapareciendo cualquier parecido a partir de la iteración número 10.

Había dado con "el efecto mariposa". Este redondeo insignificante era el aleteo de la mariposa; y el comportamiento anómalo, o digamos inesperado, de la función el huracán que se produciría el próximo mes en Tokio.

Cualquier pronóstico climatológico se deteriora rápidamente por culpa de un viento, de una entrada de aire caliente, por una bajada de presión, por una tormenta inesperada …, ese error va creciendo geométricamente y la realidad al día siguiente no es la esperada sino otra totalmente distinta: donde haría sol, llueve; donde llovería, luce el sol; donde se podría ir a la playa, se encierran en el sótano hasta que pase el huracán; etc.

A su descubrimiento lo llamó Lorenz "Dependencia sensitiva de las condiciones iniciales" y con ello creó la base de una nueva ciencia: el Caos, ciencia que no resurgiría hasta bien pasados los años, cuando los colegas de Lorenz dejaron de ver su descubrimiento como simple distracción matemática y se cercioraron de la grandeza de su trabajo. Fue entonces, cuando el boom del caos se produjo en el status científico, y todos pretendían verlo, incluso en lugares donde no existe.

Lorenz animado por su descubrimiento, decidió comenzar a experimentar con sus resultados en el campo de las corrientes de fluidos y sus 12 fórmulas se vieron reducidas a 3 simples ecuaciones no lineales.

Las ecuaciones lineales expresan relaciones proporcionales y su representación gráfica siempre una recta, adoptando la formaf(x)= ax+b. Las no lineales no son tan simples e intervienen una serie de factores a veces en mayor y otras en menor medida como pueda ser el rozamiento, cuyo valor depende de la clase de firme, del peso y velocidad del móvil.

Sus 3 ecuaciones respondían al funcionamiento de una noria de agua cuyo suministro de agua dista de ser idóneo. El aparentemente sencillo comportamiento de tan simple sistema mecánico se transforma en sorprendentemente complicado cuando el suministro de agua supera al deseado y por los cajones de la noria no se desagua lo suficiente para superar la fricción y seguir con su movimiento y velocidad uniforme.

La velocidad de la noria aumenta y los cajones no se llenan por igual con lo cual llegará un momento que el peso de los cajones que faltan por llenarse vencerá la fricción y la rueda comenzará a girar en sentido contrario y seguirá repitiéndose este proceso de cambio de sentido pero sin una pauta determinada ni predecible. Tanto podrá cambiar 5 veces en 10 minutos como estar otros 10 minutos sin cambiar o cambiar 5 veces en los 3 minutos siguientes.

Esta aparente azarosidad, depende de:

  • El aumento de la velocidad de giro de la rueda
  • El caudal suministrado
  • Reducción del tiempo de llenado de los cajones
  • Los cajones que no se han llenado vencen a la velocidad de giro

Lorenz representó gráficamente los resultados obtenidos con sus 3 ecuaciones en una gráfica tridimensional, asignando el valor obtenido de cada ecuación a una de las 3 dimensiones del plano euclídeo.

Al ver el gráfico resultante, llamado en adelante "atractor de Lorenz", Lorenz se encontró otra vez con el efecto mariposa, concretamente con sus alas.

La línea de la gráfica no se tocaba jamás, el desorden era total pues ningún punto se repetía ya que no había intersecciones, pero se dislumbró un nuevo tipo de "desorden ordenado": el caos.

Fuente: http://fractales.org/edward-lorenz-y-el-efecto-mariposa/