domingo, 1 de noviembre de 2009

El principio de Incertidumbre de Heisenberg, propiamente dicho.

El principio de Incertidumbre de Heisenberg

El hecho de que cada partícula lleva asociada consigo una onda, impone restricciones en la capacidad para determinar al mismo tiempo su posición y su velocidad. Este principio fué enunciado por W. Heisenberg en 1927.

  • Es natural pensar que si una partícula esta localizada, debemos poder
  • asociar con ésta un paquete de ondas mas o menos bien localizado.

    Un paquete de ondas se construye mediante la superposición de un número

    infinito de ondas armónicas de diferentes frecuencias.

    En un instante de tiempo dado, la función de onda asociada con un paquete

    de ondas esta dado por

    displaymath2856

    donde k representa el número de onda

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    y donde la integral representa la suma de ondas con frecuencias (o número

    de ondas) que varian desde cero a mas infinito ponderadas mediante el factor

    g(k).

    El momento de la partícula y el número de ondas estan relacionados

    ya que

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    de lo cual se deduce que

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  • Queda claro que para localizar una partícula es necesario sumar todas
  • las contribuciones de las ondas cuyo número de onda varia entre cero e

    infinito y por lo tanto el momento tex2html_wrap_inline2868 tambien varia entre

    cero e infinito. Es decir que esta completamente indeterminado.

  • Para ilustrar lo anterior hemos indicado en la siguiente figura diferentes
  • tipos de paquetes de onda y su transformada de Fourier que nos dice

    como estan distribuidas las contribuciones de las ondas con número de ondas

    k dentro del paquete.

  • En el primer caso vemos que un paquete de ondas bien localizado en el
  • espacio x, tiene contribuciones practicamente iguales de todas las ondas

    con número de ondas k.

  • En el segundo caso vemos que si relajamos un poco la posición del paquete de ondas, también es posible definir el número de ondas (o el momento) de la partícula.
  • En el último caso vemos que para definir bien el momento tex2html_wrap_inline2868 de la partícula, entonces su posición queda completamente indefinida.
  • Es posible determinar el ancho, o la incertidumbre, del paquete de ondas tanto en el espacio normal tex2html_wrap_inline2878 como en el espacio de momentos tex2html_wrap_inline2880.
El principio de incertidumbre nos dice que hay un límite en

la precisión con el cual podemos determinar al mismo tiempo la

posición y el momento de una partícula.

  • La expresión matemática que describe el principio de incertidumbre de Heisenberg es

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  • Si queremos determinar con total precisión la posición:

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  • De la desigualdad para el principio de incertidumbre verificamos
  • entonces que

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    Es decir, que la incertidumbre en el momento es infinita.


    Fuente: http://www.nuclecu.unam.mx/~vieyra/node20.html#SECTION000120000000000000000