domingo, 15 de noviembre de 2009

Mitos cuánticos, parte III

Mitos y Leyendas de Mecánica Cuántica (Parte III: El principio de incertidumbre)

En el artículo anterior se habló de la hipótesis que introdujo de Broglie en 1924 y que fue corroborada tres años más tarde en el laboratorio: la dualidad onda-corpúsculo. En resumen, propone que la materia lleva una onda asociada cuya longitud de onda depende inversamente de la cantidad de movimiento: \lambda = h / mv siendo \lambda la longitud de onda asociada, h la constante de Planck, m la masa y v la velocidad.

Como la constante de Planck es muy pequeña, la longitud de onda asociada también lo es. Por lo tanto, únicamente será relevante cuando la cantidad de movimiento (que es el producto de la masa por la velocidad) sea también muy pequeña. Es decir, a la escala de las partículas fundamentales. Por eso podemos esperar observar la difracción de un electrón a través de una rendija, pero no de una pelota de tenis. La escala, de nuevo, es fundamental.

El paso natural sería plantearse las partículas en movimiento, las interacciones entre partículas y demás. En definitiva, construir la cinemática y la dinámica de las partículas fundamentales. Y esto pasa, primero, por definir lo que es una trayectoria y después buscar la ecuación de la misma. El motivo es simple: poder predecir el comportamiento partiendo de una situación inicial y hallar valores físicos de interés a lo largo de todo su recorrido. Al igual que cuando disparamos una bala en el seno de un campo gravitatorio sabemos que la trayectoria es parabólica es porque se resuelve la ecuación de la trayectoria y podemos predecir de antemano dónde va a caer sabiendo unos pocos valores iniciales.

¿Qué es una trayectoria? Considerando una partícula puntual por sencillez, la respuesta intuitiva sería que la trayectoria es todos los puntos por los que pasa en su movimiento en presente, pasado y futuro. En Mecánica Clásica, conociendo las fuerzas que intervienen podemos calcular la trayectoria para cualquier instante de tiempo. Ahora bien ¿es posible esto en Mecánica Cuántica? La razón de que podamos hacer esto en Mecánica Clásica es que disponemos, en un primer momento, de las leyes de Newton: la de inercia, la de fuerza y la de acción y reacción. Pero ¿hay fuerzas? ¿cómo se definen?

Antes incluso. La situación más sencilla de todas es: una partícula puntual y libre que se propaga por el espacio vacío. Es decir, sin que absolutamente nada afecte a su movimiento. La Mecánica Clásica nos dice que esta partícula se moverá siguiendo una trayectoria rectilinea en todo momento y que no verá afectada su velocidad. Pues bien. Como no tenemos otra cosa, intentemos definir la misma situación en Mecánica Cuántica. Y aquí va a ser donde empiecen los problemas.

¿Cómo tratamos a la partícula? ¿Es una onda, o es un corpúsculo, es las dos cosas o ni lo uno ni lo otro sino todo lo contrario? Según la hipótesis de de Broglie, confirmada por los experimentos, se comporta como una onda. Y como no tenemos nada más, hagamos uso de la hipótesis de de Broglie. Es decir, que \lambda = h/p donde hemos llamado p a la cantidad de movimiento o momento de la partícula siguiendo la notación más habitual. Como la trayectoria es la posición y ésta se puede obtener de la velocidad y ésta a su vez, del momento, entonces expresamos p = h / \lambda y si llamamos número de ondas k = 1/\lambda entonces p = h k

Ya tenemos algo con lo que jugar. La otra cosa que nos guardamos en el tintero es lo que descubrió Planck y de lo que ya hablamos: que la energía está cuantizada. Y recordemos, que la expresión era E = h \nu siendo \nu la frecuencia. Pues bien, con este par de ecuaciones: p = h k y E = \hbar \omega se tiene todo lo necesario para hallar la ecuación de movimiento. Con esto como partida, Schrödinger propuso en 1925 la ecuación que lleva su nombre y que permite hallar no la trayectoria, sino la función de onda asociada a la partícula. Porque el comportamiento ondulatorio no se puede obviar.Esta función de onda es, en general, compleja (es decir, que tiene parte real e imaginaria).

En 1927, habiendo sido ya propuesta la ecuación de Schrödinger, Heisenberg que trabajaba paralelamente a éste enunció el llamado principio de incertidumbre que dice

No es posible determinar simultáneamente y con infinita precisión la posición y la cantidad de movimiento de una partícula.

En otras palabras. Cuanta más precisión obtengamos midiendo la posición, mayor será el error midiendo el momento. No impide que puedan medirse simultáneamente, pero su error estará siempre relacionado según \Delta x \cdot \Delta p \ge \hbar /2 El principio de incertidumbre surge matemáticamente porque la multiplicación de matrices no es conmutativa. Es decir, A \cdot B \ne B \cdot A y esto, a lo que estamos tan acostumbrados en general, conlleva que esas dos magnitudes relacionadas entre sí no puedan tener error cero a la vez. Hay que insistir mucho en este punto que el principio fue enunciado como una consecuencia teórica de la manera en que Heisenberg formulaba la Mecánica Cuántica. No tiene absolutamente nada que ver con errores de medición en el laboratorio ni nada por el estilo. La no conmutatividad del producto de matrices lleva indefectiblemente a ello. Es un error bastante común achacar el principio de incertidumbre a que todo es muy pequeño y transcurre demasiado rápido para que podamos verlo y medirlo, cuando en realidad, no tiene nada que ver.

Esto fue un varapalo importantísimo en la mentalidad de aquella época. La Física triunfalista del siglo XIX era determinista. Algunos incluso se atrevieron a decir que estaba ya prácticamente todo resuelto y que era cuestión de tiempo. Y admitir de pronto que no podíamos conocerlo todo a la perfección era como manchar la inmaculada y perfecta Física decimonónica.

Cinco años después de que Schrödinger postulase su ecuación y tres de que formulase Heisenberg el principio de incertidumbre, Max Born que había trabajado con Heisenberg para formular la Mecánica Cuántica usando matrices observó que la función de onda de Schrödinger o mejor dicho, su módulo al cuadrado, podía interpretarse como una densidad de probabilidad. Dos décadas después recibiría el premio Nobel por esto mismo. Esta manera de ver la solución de la ecuación de Schrödinger reforzaba el caracter probabilístico de la Mecánica Cuántica. Es decir, en lugar de preguntarse qué posición tiene la partícula A en un instante t, cabría preguntarse cual es la probabilidad de que en un instante de tiempo t la partícula se halle en una posición determinada. Esto reforzaba el caracter probabilístico que Heisenberg había demostrado con su principio de incertidumbre y rompía para siempre el paradigma clásico de partículas con trayectorias perfectamente definidas.

En Mecánica Cuántica no tiene sentido definir algo llamado trayectoria. Porque en cuanto intentáramos acotar la posición perderíamos toda la información sobre la velocidad. Y ya no sabríamos en qué punto del espacio se encuentra la partícula. Sobre el principio de incertidumbre se ha dicho ya todo, y no voy a decir nada ya que sea nuevo. Pero su importancia trasciende la de la propia teoría. Si ya la Relatividad había desterrado el concepto de lo absoluto, el principio de incertidumbre daba también la puntilla a los amantes de la visión aristotélica del mundo.

Y el hecho de que la Mecánica Cuántica sea intrínsecamente probabilística no le resta ni un ápice de precisión. Esto también hay que recalcarlo porque a veces la gente asocia probabilidad y estadística con inventos que a veces funcionan y a veces no. Por contra de lo que parezca, no hay nada cogido con pinzas. Todo está atado y bien atado. Otra cosa es que nos gustase o dejase de gustar que el mundo fuese más determinista y todo el pescado estuviese vendido. No puedo acabar sin decir lo admirable que resulta todo este trabajo que si hoy en día se hace árido y complicado, en aquella época y con los medios que disponían está claro que únicamente era algo al alcance de genios.

En otra ocasión hablaré de lo que ocurrió a partir de los años 40, cuando empezó todo el desarrollo experimental de la teoría desarrollada durante los años veinte y treinta y también, por qué no, de todo lo que vino después.

Fuente: http://www.migui.com/ciencias/fisica/mitos-y-leyendas-de-mecanica-cuantica-parte-iii-el-principio-de-incertidumbre.html/comment-page-1