domingo, 20 de septiembre de 2009

Teorema de Gödel

Teorema de Gödel

Desde los tiempos de Euclides, hace ya dos mil trescientos años, los matemáticos han intentado partir de ciertos enunciados llamados axiomas y deducir luego de ellos toda clase de conclusiones útiles.

En ciertos aspectos es casi como un juego, con dos reglas. En primer lugar, los axiomas tienen que ser los menos posible. En segundo lugar, los axiomas tienen que ser consistentes, es decir, tiene que ser imposible deducir dos conclusiones que se contradigan mutuamente.

Cualquier libro de geometría comienza con un conjunto de axiomas: por dos puntos cualesquiera sólo se puede trazar una recta, el total es la suma de las partes, etc. Durante mucho tiempo se supuso que los axiomas de Euclides eran los únicos que podían constituir una geometría consistente y que por eso eran “verdaderos”.

Pero en el siglo XIX se demostró que modificando de cierta manera los axiomas de Euclides, se podían construir geometrías diferentes, “no euclidianas”. Cada una de estas geometrías difería de las otras, pero todas ellas eran consistentes. A partir de entonces no tenía ya sentido preguntar cuál de ellas era la “verdadera”. En lugar de ello, había que preguntar cuál era útil.

De hecho, son muchos los conjuntos de axiomas a partir de los cuales se podría construir un sistema matemático consistente: todos ellos distintos y todos ellos consistentes.

En ninguno de estos sistemas matemáticos tendría que ser posible deducir, a partir de sus axiomas, que algo es a la vez “así” y “no así”, porque entonces las Matemáticas no serían consistentes, habría que desecharlas. ¿Pero qué ocurre sí establecemos un enunciado y comprobamos que no podemos demostrar que es “así” o “no así"?.

Supongamos que digo: “el enunciado que estoy haciendo es falso”.

¿Es falso? Sí es falso, entonces es falso que estoy diciendo algo falso y tengo que estar diciendo algo verdadero. Pero sí estoy diciendo algo verdadero, entonces es cierto que estoy diciendo algo falso y sería verdad que estoy diciendo algo falso. Podría estar yendo de un lado para otro indefinidamente. Es imposible demostrar que lo que he dicho es o no es así.

Supongamos que ajustamos los axiomas de la lógica a fin de eliminar la posibilidad de hacer enunciados de este tipo. ¿Podríamos encontrar otro modo de hacer enunciados del tipo “ni así ni no así”?.

En 1931, el físico y matemático austríaco Kurt Gödel presentó una demostración válida de que para cualquier conjunto de axiomas, siempre es posible hacer enunciados que, a partir de esos axiomas, no puede demostrarse ni que son así ni que no son así. En ese sentido, es imposible elaborar jamás un conjunto de axiomas a partir de los cuales se pueda deducir un sistema matemático “completo”.

¿Quiere decir esto que nunca podremos encontrar la “verdad? ¡Ni hablar!

Primero: el que un sistema matemático no sea completo no quiere decir que lo que contiene sea falso. El sistema puede seguir siendo muy útil, siempre que no intentemos utilizarlo más allá de sus límites.

Segundo: el Teorema de Gödel sólo se aplica a sistemas deductivos del tipo que se utiliza en Matemáticas. Pero la deducción no es el único modo de descubrir la “verdad”. No hay axiomas que nos permitan deducir las dimensiones del Sistema Solar. Estas últimas fueron obtenidas mediante observaciones y medidas, otro camino hacia la “verdad”.

Biografía

Kurt Gödel nació en Brünn, actual Austria, en 1906, y murió en Princeton, EE UU, en 1978. Lógico y matemático estadounidense de origen austríaco. En 1930 entró a formar parte del cuerpo docente de la Universidad de Viena. Por su condición de judío se vio obligado a abandonar la ciudad durante la ocupación alemana de Austria y a emigrar a Estados Unidos, donde pasó a ocupar una plaza de profesor en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton, institución que ya había visitado con anterioridad.

En 1931 publicó el artículo «Sobre proposiciones formalmente indecidibles del Principia Mathematica y sistemas relacionados», en el que propuso sus dos teoremas de la iocompletitud, el primero de los cuales establece que ninguna teoría finitamente axiomatizable y capaz de derivar los postulados de Peano (esto es, abarcar un nivel mínimo de complejidad) es a la vez consistente y completa.

En otras palabras, si se intenta elaborar una teoría fundacional de las matemáticas que establezca los axiomas y las reglas de inferencia asociadas a los mismos, de modo que sea posible estipular con precisión qué es y qué no es un axioma, la teoría resultante será bien insuficiente (no permitirá derivar los postulados de Peano), incompleta (existirá al menos una proposición matemáticamente válida que no será derivable de la teoría) o inconsistente.

El segundo teorema de la incompletitud, corolario del primero, afirma que si una teoría es finitamente axiomatizable, consistente y capaz de derivar los postulados de Peano, entonces dicha teoría no puede probar su propia consistencia. Mediante la demostración de las imperfecciones del sistema axiomático como herramienta, heredada de los antiguos griegos, para la elaboración de teorías complejas, completas y consistentes, la obra de Gödel echó definitivamente por tierra las empresas formalistas (Hilbert) y logicistas (Russell y Whitehead) y, en definitiva, más de un siglo de intentos de desarrollar una fundamentación de las matemáticas basada en dichos instrumentos.

© 2002 Javier de Lucas Linares

Fuente: http://platea.pntic.mec.es/~jdelucas/godel.htm